結論から言いますと、「تعاطى」には二つ意味があり、一つは、「（麻薬、覚醒剤等健康を害する薬物等）を摂取する（飲む、吸う、使う、使用する、やる）」という意味だそうです。

そのサウジ人は、「（体に良くないと言われる）コーラを飲むの？」と冗談めいて質問してきたということです。

もう一つは、前置詞「مع」を伴って、「～に対処する」という意味でがあります。
これは「تعامل」と同じような意味ですが、「تعامل」が良い意味でも悪い意味でも「扱う」とか「対処する」という意味で使われる一般的な動詞であるのに対し、「تعاطى」は、「（～との間で色々と問題を抱える中で）～に対処する」という意味であるとのことです。

最近、サウジと米国の関係がぎくしゃくしていると言われますが、そういう両国関係の中での「サウジの米国への対応」という表現は、
「تعاطي السعودية مع الولايات المتحدة」と訳すのがぴったりではないかと思います。

「تعاطى」は中級辞書で登録されていますが、一つ目の意味（薬物の摂取）が含まれていないので、例文を含めて修正しておきます。