この２つの動詞の意味の違いがいまいちよく分からなかったので、アラビア語を母国語とする人に確認しました。
その結果は次の通りです。

「أنقذ」：生死に関わる危機的状況に巻き込まれている者の救助、救出
「أغاث」生死に関わる危機から逃れた人の援助、支援、救援

地震で崩れた家屋に取り残された人や船から海へ落ちた人の救出には「أنقذ」が使われ、地震で救出された人や被災民への支援・救援には「أغاث」が使われるということのようです。